בעיה מתמטית בת 87 שנה נפתרה בעזרת Claude: השערת היעקוביאן הופרכה

מודל הבינה המלאכותית Claude Fable 5 של אנתרופיק עזר להפריך את השערת היעקוביאן (Jacobian conjecture). מדובר בבעיה מתמטית שנותרה פתוחה מאז 1939, והיא מופיעה ברשימה של המתמטיקאי סטיבן סמייל, רשימה רבת השפעה של בעיות לא פתורות שהוצבו למאה הנוכחית. לפי CoinDesk, המודל מצא דוגמה נגדית קונקרטית, ומתמטיקאים הצליחו לאמת אותה ביד בתוך יום.

מי פרסם ואיך

את התוצאה פרסם ב-X לוונט אלפוגה (Levent Alpöge), חוקר תורת המספרים שעובד באנתרופיק ובעבר החזיק במלגת מחקר בהרווארד. הפרסום עלה ביום ראשון בלילה, והקרדיט ניתן למודל. בהודעה שלו, כפי שצוטטה ב-CoinDesk, הוא כתב בחיוך שהמודל "עבד בזמן גמר המונדיאל", וצירף את הנוסחה המלאה: פונקציה בשלושה משתנים מרוכבים שהדטרמיננטה היעקוביאנית שלה קבועה ושווה ל-2-, ובכל זאת היא שולחת שלוש נקודות שונות לאותה נקודה בדיוק.

מה בעצם הופרך

אפשר לחשוב על "מכונה" שמקבלת מספרים ומחזירה מספרים חדשים באמצעות חיבור וכפל בלבד, כלומר פולינומים. השאלה היא אם אפשר תמיד להריץ את המכונה לאחור: אם יודעים רק את הפלט, האם אפשר לשחזר ממנו את הקלט?

למתמטיקאים יש בדיקה מהירה שמראה אם מכונה כזו "נראית" הפיכה, והיא מבוססת על היעקוביאן. ההשערה טענה שכל מכונה שעוברת את הבדיקה הזו אכן הפיכה. במשך 87 שנה איש לא הצליח להוכיח את הטענה, ואיש גם לא מצא מכונה שמפרה אותה.

הדוגמה של Claude עוברת את הבדיקה, אבל אי אפשר להפוך אותה: שלושה קלטים שונים מניבים בדיוק את אותו פלט, ולכן אין דרך לדעת מאיזה מהם הגיע הפלט. בבעיות מהסוג הזה מספיקה דוגמה נגדית אחת כדי להפריך את ההשערה סופית. מכאן גם הנקודה החשובה: אין צורך לסמוך על המודל. כל מי שיש לו נייר ועיפרון יכול להציב את הנקודות בנוסחה ולבדוק בעצמו.

לא מקרה בודד

ההפרכה של השערת היעקוביאן היא חלק מרצף של תוצאות מתמטיות שיוחסו למודלי AI בחודשים האחרונים. לפי דיווח שפורסם ב-Yahoo, בתחילת ספטמבר הודיעה אנתרופיק ש-Claude הפיק הוכחה ממוחשבת של המשפט האחרון של פרמה, כלומר הוכחה שנבדקה צעד אחר צעד בתוכנה.

באותו שבוע התפתחה מחלוקת פומבית בין המעבדות. OpenAI הודיעה שמודל פנימי שלה פתר את בעיית נאוויה-סטוקס, אחת משבע "בעיות המילניום" שעל כל אחת מהן הוצע פרס של מיליון דולר. במקביל טען המתמטיקאי טריסטן בקמאסטר מאוניברסיטת ניו יורק, שעבד עם אלפוגה במשך כמעט שנה ונעזר במודלי AI, שהשניים הגיעו לפתרון עוד קודם לכן. OpenAI ובכירים בה דחו את הטענות. טרנס טאו, זוכה מדליית פילדס, כינה את העבודה המתמטית של בקמאסטר ואלפוגה "הישג יוצא דופן". עם זאת, התוצאה המתקדמת ביותר שלהם, זו הקרובה ביותר לבעיית המיליון, עדיין לא פורסמה. גם ההוכחה של OpenAI, שאורכה 100 עמודים, טרם נבדקה באופן עצמאי.

למה זה חשוב

המשמעות העיקרית כנראה אינה ההשערה עצמה, שמעניינת בעיקר מומחים לאלגברה. חשוב יותר סוג העבודה: המודל לא סיכם ספרות קיימת ולא פתר תרגיל מוכר. הוא ייצר מתמטיקה חדשה בבעיה שעמדה פתוחה עשרות שנים, והתוצאה ניתנת לאימות מלא. קשה לזייף ממצא כזה, ולכן סביר שהוא ייחשב לאחת העדויות החזקות עד כה ליכולות של מודלי שפה במחקר מתמטי.

ההשפעה חורגת גם מגבולות האקדמיה. ב-CoinDesk טוענים שכל קפיצה כזו ביכולות ה-AI מושכת הון ותשומת לב של משקיעים לתחום השבבים וכוח המחשוב, ושביטקוין עצמו נסחר בחודשים האחרונים בהתאם לנרטיב ה-AI. זו פרשנות של כלי התקשורת, אבל היא ממחישה שהישגים מתמטיים של מודלים הפכו לנושא שהשווקים עוקבים אחריו.